Выходец из детской академии ФК «Копенгаген», он присоединяется к «Брондбю» в 2011, а затем, всего лишь спустя год, переходит в мюнхенскую «Баварию». Примером для подражания в игре для него является Зидан. В марте 2013 года он появился на скамейке запасных в матче «Баварии» против леверкузенского «Байера», но на поле так и не появился, тот матч был единственным проигранным матчем команды за весь год в Бундеслиге 2012/13. В возрасте 17 лет и 251 дня, 13 апреля 2013 года, он совершает свой профессиональный дебют в высшем дивизионе немецкого чемпионата (и высшем дивизионе вообще), выйдя на замену Джердану Шакири в матче против «Нюрнберга», который закончился победой «Баварии» со счётом 4-0. В тот момент он стал самым молодым игроком, когда-либо игравшим за мюнхенцев в Бундеслиге. 8 января 2015 года Хёйбьерг продлил контракт с «Баварией» и отправился в аренду в «Аугсбург» на полгода. 28 августа 2015 года Хёйбьерг был отдан в аренду на один сезон без права выкупа в «Шальке 04». Хёйбьерг назван игроком года Дании в возрасте до 17 лет. В июле 2016 года Хёйбьерг подписал пятилетний контракт с английским клубом «Саутгемптон». 11 августа 2020 года Хёйбьерг перешёл в «Тоттенхэм Хотспур», подписав контракт на 5 лет. В сезоне 2020/21 сыграл без замен все 38 матчей чемпионата.