Заниматься футболом Бюрки начал в родном городе Мюнзинген, а в 14 лет его пригласили в молодёжную академию «Янг Бойза». Там он провёл 4 года, из которых два Бюрки играл за молодёжную команду «Янг Бойз» U-21. В 2009 году Бюрки начал путешествовать по арендам. В сезоне 2009/10 он провёл полгода в «Туне». Сезон 2010/11 Роман начал в составе «Шаффхаузена», где он сыграл 9 матчей, после чего вернулся в состав «Янг Бойз» и даже успел сыграть два матча в национальном первенстве, а затем вновь перешёл в аренду. С начала 2011 года Бюрки стал выступать за «Грассхоппер» на правах аренды. За 2,5 года, проведённых в составе «кузнечиков», Бюрки сыграл 75 матчей и стал первым номером команды, выиграв конкуренцию у опытного Давиде Тайни, в результате чего руководство «Грассхоппера» за 1,8 млн евро выкупило контракт молодого голкипера. Главный успех в клубной карьере Бюрки пришёлся на 2013 год, когда «Грассхоппер» впервые за 10 лет стал обладателем Кубка Швейцарии, победив в финале в серии послематчевых пенальти «Базель».