Рунарссон — воспитанник клуба «Рейкьявик». 11 августа 2013 года в матче против «Вестманнаэйяра» он дебютировал в чемпионате Исландии. В своём дебютном сезоне Рунар помог клубу выиграть чемпионат. В начале 2014 года Рунарссон перешёл в датский «Норшелланн». 18 мая 2015 года в матче против «Эсбьерга» он дебютировал в датской Суперлиге. Летом 2018 года Рунарссон перешёл во французский «Дижон». 11 августа в матче против «Монпелье» он дебютировал в Лиге 1.