Сессеньон является воспитанником футбольного клуба «Фулхэм». С сезона 2016/17 — игрок основного состава клуба. 16 августа 2016 года дебютировал в Чемпионшипе в поединке против «Лидса», выйдя в стартовом составе и проведя на поле весь матч. На момент дебюта Сессеньону было 16 лет и 88 дней. Спустя 4 дня, 20 августа, в поединке против «Кардиффа» Райан забил своей первый гол в профессиональном футболе. 11 марта 2017 года оформил свой первый «дубль» в карьере, это случись в матче против «Ньюкасл Юнайтед». Команда Райана выиграла со счетом 3:1. По итогам сезона 2016/2017 вошел в символическую сборную Чемпионшипа, сыграл в 26 матчах чемпионата, забил 5 мячей и отдал 2 голевые передачи. 28 июля 2017 года поменял свой «30» номер на «3-й». В сезоне 2017/2018 забил свой первый гол 9 сентября снова в поединке против «Кардиффа». Его команда сыграла вничью 1:1. 21 ноября 2017 года в матче против «Шеффилд Юнайтед» оформил свой первый хет-трик в карьере. В этом матче «Фулхэм» выиграл со счётом 5:4. В мае 2018 года Сессеньон был назван Футбольной лигой Англии лучшим футболистом сезона в Чемпионшипе. Также 17-летний защитник получил от EFL награду лучшему молодому игроку.