Колашинац начинал свою карьеру в молодёжной академии «Карлсруэ», где провёл 8 лет. Затем он провёл два года в молодёжных академиях «Хоффенхайма» и «Штутгарта», а с января 2011 года играет за «Шальке 04». В составе «Шальке» Колашинац стал чемпионом Германии до 19 лет в сезоне 2011/12. 1 июня 2012 года он подписал первый профессиональный контракт с «кобальтовыми» на 3 года. Дебютировал Колашинац в Бундеслиге 15 сентября 2012 года в гостевом матче против «Гройтера» (2:0), заменив в самом конце встречи Кристиана Фукса. Его первый выход на поле за «Шальке» на «Фельтинс-Арене» состоялся 6 октября 2012 года в матче против «Вольфсбурга» (3:0). 30 октября 2012 года в кубковой встрече с «Зандхаузеном» (3:0) Колашинац впервые в карьере провёл все 90 минут в официальном матче за «Шальке», при этом сыграв на позиции левого защитника. 4 декабря 2012 года он дебютировал в Лиге чемпионов в матче против «Монпелье» (1:1). 25 июня 2013 года Колашинац продлил контракт до 2017 года, также сменив свой игровой номер с 35 на 6. 6 июня 2017 года Колашинац перешёл в лондонский «Арсенал» на правах свободного агента. С английским клубом он заключил контракт на пять лет. Дебютировал в составе «Арсенала» 6 августа 2017 года в матче за Супекубок Англии, в котором вышел на замену и забил гол. Его клуб в итоге одержал победу в серии пенальти. 31 декабря 2020 года на правах аренды до конца сезона вернулся обратно в «Шальке 04». 3 июня 2021 года стало известно, что футболист покидает "Шальке" в связи с вылетом из первой бундеслиги и сокращения финансирования клуб не сможет выкупить трансферы игроков и заключить с ними полноценный контракт.