Абрахам родился в Лондоне. Пришёл в Академию «Челси» на уровень до 8 лет, пройдя всю систему академии «Челси». В сезоне 2014/15, Тэмми был частью молодёжной команды которая выиграла Молодёжный кубок Англии и Юношескую лигу УЕФА. В последней, проведя 7 матчей, отличился 4 раза. В двухматчевом финале против «Манчестер Сити», в выездной игре отметился дублем (3:1), а в ответной игре забил победный гол (2:1). 15 октября 2015 года, Абрахам подписал 4-летний контракт с «Челси» до конца сезона 2018/19. В сезоне 2015/16, команда повторила свой успех, снова выиграв эти турниры, а Абрахам в Юношеской лиги УЕФА забил восемь голов в девяти матчах, став вторым в списке бомбардиров. Он сохранил свою форму и в Молодёжном кубке Англии, забив победный гол в ответном финальном матче против «Манчестер Сити» (3:1). Его результаты на юношеском уровне (41 гол в 44 матчах) привлекли внимание главного тренера Гуса Хиддинка, который пригласил его тренироваться с основной командой в конце сезона 2015/16. Дебютировал за «Челси» в официальной игре 11 мая 2016 года в матче перенесённого 30-го тура Премьер-лиги против «Ливерпуля» (1:1), заменив Бертрана Траоре, на 74 минуте. Затем на следующей неделе впервые вышел на «Стэмфорд Бридж» в домашнем матче с «Лестером» (1:1), снова заменив во втором тайме Траоре.