Дэвис — воспитанник молодёжной академии футбольного клуба «Эвертон», в систему которого попал в 2009 году. Первый профессиональный контракт с клубом подписал 30 сентября 2015 года. Дебют футболиста в основном составе «Эвертона» состоялся 16 апреля 2016 года, когда Дэвис вышел на замену Даррону Гибсону в матче Премьер-лиги против «Саутгемптона». 15 мая 2016 года в игре «Эвертона» против клуба «Норвич Сити» Дэвис впервые в карьере попал в стартовый состав команды на матч АПЛ и по его итогам был признан лучшим игроком матча. 3 августа 2016 года подписал новый контракт с «Эвертоном» до 2021 года. В сезоне 2016/17 стал регулярно появляться в стартовом составе команды на матчи АПЛ. 15 января 2017 года забил свой дебютный гол в АПЛ в матче против «Манчестер Сити», который «Эвертон» выиграл со счётом 4:0. Этот гол впоследствии был признан болельщиками «Эвертона» лучшим в сезоне. Всего же в сезоне 2016/17 принял участие в 24 матчах АПЛ и отметился двумя забитыми голами. В сезоне 2017/18 сыграл в 33 матчах «Эвертона» в Премьер-лиге, забил два гола.