Гаек — воспитанник клуба «Фастав» из своего родного города. 6 марта 2011 года в матче против «Кладно» он дебютировал во Второй лиге Чехии. В начале 2013 года Гаек был арендован клубом «Градец-Кралове». 13 апреля в матче против либерецкого «Слована» он дебютировал Гамбринус лиге. Летом того же года Гаек вернулся в «Фастав». В 2015 году он помог команде выйти в элиту. 13 февраля 2016 года в поединке против столичной «Спарты» Томаш забил свой первый гол за «Фастав». В начале 2019 года Гаек на правах аренды присоединился к «Младе-Болеслав». 15 февраля в матче против «Теплице» он дебютировал за новую команду. Летом 2019 года Гаек перешёл в нидерландский «Витесс», подписав контракт на 3 года. 29 октября дебютировал за команду в матче Кубка Нидерландов против «Де Графсхапа».