Валентино начал заниматься футболом в 2002 году в академии «ГАКа» из его родного Граца. В 2011 Лазаро перешёл в академию клуба «Ред Булл» Зальцбург. 3 ноября 2012 года в возрасте 16 лет и 224 дней дебютировал в составе «Ред Булл», выйдя на замену на 84 минуте и став самым молодым игроком в истории Австрийской Бундеслиги. Свой первый мяч за основной состав Лазаро забил 6 февраля 2013 года в товарищеском матче против «Динамо (Ческе-Будеёвице)». В чемпионате Австрии отметился забитым голом 23 февраля 2014, сравняв счёт во встрече с «Адмира Ваккер Мёдлинг». 3 августа 2017 года стало официально известно, что Лазаро отправился в годичную аренду с правом выкупа в «Герту». 1 июля 2019 миланский «Интер» объявил о переходе Лазаро в свой стан. С 23-летним футболистом был подписан контракт до 30 июня 2023 года. По оценкам СМИ, «Интер» заплатил за Лазаро около 22 млн евро плюс бонусы. 14 июля Валентино дебютировал за «нерадзурри» в товарищеском матче против «Лугано», выйдя на замену на 66 минуте.