Воспитанник клуба «Депортес Толима». 24 февраля 2013 года в матче против «Бояка Чико» дебютировал в Кубке Мустанга. В 2014 году стал обладателем Кубка Колумбии. 17 мая 2015 года в поединке против «Хагуарес де Кордоба» он забил свой первый гол за «Депортес». Летом того же года Барриос перешёл в аргентинский «Бока Хуниорс». Сумма трансфера составила 2,7 млн евро. 29 октября в матче против «Темперлея» дебютировал в аргентинской Примере, заменив во втором тайме Пабло Переса. 11 декабря в поединке против «Эстудиантеса» забил свой первый гол за «Бока Хуниорс». В 2017 году Барриос помог клубу выиграть чемпионат. 1 февраля 2019 года перешёл в петербургский «Зенит». Соглашение было рассчитано на 4,5 года, а сумма трансфера составила €15 млн, а зарплата около €2 млн. 2 марта в матче против «Урала» дебютировал в РПЛ. 17 марта в поединке против московского «Спартака» (1:1) забил свой первый гол за «Зенит».