Челик — воспитанник клуба «Бурсаспор». Летом 2015 года для получения игровой практики Мехмет был отдан в аренду в «Каракабей Бирликспор». 23 августа в матче против «Козан Биледиспора» он дебютировал в Третьей лиге Турции. Летом 2016 года Челик подписал контракт с «Истанбулспором». 3 сентября в матче против «Пендикспора» он дебютировал во Второй лиге Турции. По итогам сезона Челик помог клубу подняться дивизионом выше. 12 августа 2017 года в матче против «Эскишехирспора» он дебютировал в Первой лиге Турции. В этом же поединке Зеки забил свой первый гол за «Истанбулспор». Летом 2018 года Челик перешёл во французский «Лилль», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 1 млн евро. 11 августа в матче против «Ренна» он дебютировал в Лиге 1. Летом 2022 года Челик за 7 млн. евро перешел в итальянскую "Рому".