С 13 лет находился в структуре тбилисского «Динамо», где прошёл путь от детских и юношеских команд до основой. 3 ноября 2020 года в её составе дебютировал в чемпионате Грузии в гостевом матче против «Дилы». Гагнидзе появился на поле на 72-й минуте, заменив Анзора Меквибишвили. По итогам сезона «Динамо» заняло первую строчку в турнирной таблице и стало чемпионом страны. 3 апреля 2021 года забил свой первый мяч в профессиональной карьере, отличившись на 13-й минуте матча с «Дилой», в результате чего принёс своей команде победу с минимальным счётом 1:0. 5 июля 2021 года переехал в Россию, подписав контракт с московским «Динамо». Срок соглашения рассчитан на пять лет. 21 июля на правах аренды до конца сезона перешёл в екатеринбургский «Урал».