Джош выступал за молодёжные команды «Уоррингтон Таун», «Манчестер Юнайтед» и «Престон Норт Энд». 8 октября 2013 года дебютировал в основном составе «Престона» в матче Трофея Футбольной лиги против «Олдем Атлетик». Четыре дня спустя дебютировал в Лиге 1 в матче против «Кру Александра». 19 октября Джош забил свой первый гол за «Престон» в матче Лиги 1 против «Джиллингема», а главный тренер клуба Саймон Грейсон высоко оценил его выступление в целом. Всего Браунхилл провёл за «Престон Норт Энд» 64 матча и забил 6 мячей с декабря 2013 по январь 2016 года. 14 января 2016 года Джош отправился в аренду в «Барнсли» до окончания сезона 2015/16. Он сразу же стал игроком стартового состава, дебютировав за «дворняг» в матче против «Шрусбери Таун» 16 января. 6 марта Браунхилл забил свой первый гол за «Барнсли» в матче против «Уолсолла». Он помог команде выиграть Трофей Футбольной лиги и плей-офф Лиги 1, благодаря чему команда обеспечила своё возвращение в Чемпионшип. Всего за пять месяцев аренды он сыграл за команду 27 матчей и забил 3 мяча.