В 15 лет получил приглашение на просмотр в академию московского «Спартака», который успешно прошёл. За два с половиной года в академии «Спартака» Максименко выиграл чемпионат Москвы и России, а также Кубок РФС. В четвертьфинале первенства страны со сверстниками из ЦСКА Александр отбил два одиннадцатиметровых в серии послематчевых пенальти, затем снова выручил свою команду в зрелищном полуфинале с «Сатурном» и вывел её на «Зенит». Петербуржцев спартаковцы-98 тоже победили и впервые выиграли чемпионат России. В академии «Спартака» тренировался под руководством Рината Дасаева. С 2015 года начал выступать за молодёжный состав «Спартака», за который дебютировал 2 августа в домашнем матче против «Рубина» (6:1). Всего в 2015—2017 годах сыграл 35 матчей, пропустил 29 мячей. Зимой 2016 года был переведён в «Спартак-2» и принимал участие в Кубке ФНЛ 2016. 13 августа 2016 года дебютировал за «Спартак-2» в первенстве ФНЛ в домашнем матче против «Тюмени» (2:3). В 2016—2018 годах провёл за вторую команду 24 матча, пропустив 38 мячей. 25 октября 2017 года дебютировал за основной состав «Спартака» в матче 1/8 финала кубка России против клуба «Спартак-Нальчик» (5:2).