Родился в городе Унеча Брянской области. Александр начал заниматься футболом в родном городе, в команде «Электрон», позже перебрался в брянское «Динамо». В юности играл форварда, постепенно дошёл до позиции опорного полузащитника. На одном из турниров в 2007 году его заметил селекционер «Спартака» и пригласил на просмотр в московскую команду, который Пуцко успешно прошёл. В академии «Спартака» действовал на позиции центрального и левого защитника.