Амато Чичиретти начинал заниматься футболом в школе «Лацио», но в 2004 году перешёл в академию «Ромы», с которой стал юношеским чемпионом Италии (U-17) в сезоне 2009/10. В 2012 году Чичиретти был отдан в аренду «Каррарезе», выступавшему в Высшем дивизионе Профессиональной лиги, за который он в сезоне 2012/13 провёл 19 матчей. В следующем году Чичиретти на правах аренды играл за команду «Л’Акуила» в той же лиге, где составил пару нападающих вместе с другим воспитанником «Ромы» Марко Фредиани. После краткого периода в «Пистойезе», Чичиретти выступал за «Мессину» в 2015 году, проведя 21 матч и забив 3 гола. В 2015 году Чичиретти перешёл в «Беневенто», с которым выиграл одну из трёх групп Профессиональной лиги сезона 2015/16, забив шесть мячей в 31 матчах, и тем самым помог команде впервые в истории сыграть в Серии В. 27 августа 2016 года Чичиретти дебютировал в Серии В, забив исторический первый гол команды в этом дивизионе в матче против команды СПАЛ (2:0). По итогам того же сезона «ведьмы» выиграли плей-офф и сенсационно вышли в Серию А. 20 августа 2017 года Чичиретти дебютировал на высшем уровне, выйдя в основном составе в гостевом поединке против «Сампдории». На 15-й минуте этого матча он забил свой первый гол в рамках Серии А, который также стал первым для «Беневенто» в Серии А. В январе 2019 года Чичиретти перешёл на правах аренды в «Асколи».