Анастасиос Донис обучался футбольному мастерству в академии греческого клуба «Панатинаикос», откуда в 2012 году перешёл в «Ювентус». Несмотря на то, что игроком интересовались «Арсенал» и «Тоттенхэм Хотспур», туринцы были настроены на эту сделку наиболее сильно и заплатили 100 тысяч фунтов компенсации. В 2015 году Донис был передан «Ювентусом» в аренду в итальянский клуб «Сассуоло», где ни разу не появился в основном составе. На сезон 2015/2016 отправился в аренду в швейцарский клуб «Лугано», где стал получать игровую практику. 13 сентября 2015 года в поединке против «Сьона» Донис дебютировал не только в швейцарском чемпионате, но и во взрослом футболе. В «Лугано» Анастасиос Донис стал основным игроком и провёл в чемпионате 25 встреч, в которых отличился четырежды. В финале Кубка Швейцарии против «Цюриха» он вышел в стартовом составе и был заменён на 70-й минуте Каримом Росси. В упорной борьбе «Лугано» проиграл встречу со счётом 0:1. 20 июля 2016 года было объявлено, что Донис продолжит свою карьеру во французском клубе «Ницца». Арендное соглашение было заключено сроком на один сезон с возможностью полного выкупа контракта после окончания чемпионата. 1 июля 2017 года Донис перешёл в немецкий «Штутгарт» за 4 млн евро. Личный контракт с футболистом был подписан на четыре года. 1 февраля 2021 года перешёл в нидерландский ВВВ-Венло на правах аренды.