Андрей Мостовой родился в Омске, в возрасте четырёх лет с семьёй переехал в Москву. Начал обучаться футболу в школе ЦСКА, в 14 лет перешёл в школу «Локомотива». В сезонах 2014/15 и 2015/16 в молодёжном первенстве сыграл 20 матчей и забил два гола. В начале 2016 года перешёл в клуб ПФЛ «Долгопрудный». На профессиональном уровне дебютировал 10 апреля 2016 года в гостевом матче против клуба «Знамя Труда» и на четвёртой минуте открыл счёт. По окончании сезона перешёл в клуб ФНЛ «Химки» и за два сезона провёл в первенстве 83 матча, забив четыре мяча. В августе 2017 сообщалось об интересе к Мостовому со стороны испанской «Марбельи». 28 ноября 2017 года сыграл за сборную ФНЛ против команды итальянской Серии В (2:2). В феврале 2019 года Мостовой перешёл в «Зенит». До конца сезона играл в фарм-клубе «Зенит-2», в первенстве ФНЛ в 13 играх забил пять мячей. Перед сезоном 2019/20 был отдан в годичную аренду в клуб-новичок Премьер-лиги «Сочи». В чемпионате России дебютировал 27 июля 2019 года в гостевом матче против «Краснодара», проигранном со счётом 0:3. Летом 2020 года Мостовой вернулся в «Зенит» и 7 августа дебютировал за клуб в матче за Суперкубок России против «Локомотива». 14 сентября 2020 года забил первый гол за «Зенит», поразив ворота тульского «Арсенала».