Делор — воспитанник клубов «Сет» и «Аяччо». После окончания академии он сезон выступал за дублирующую команду, после чего подписал контракт с «Нимом». 30 августа 2009 года в матче против «Меца» Анди дебютировал в Лиге 2. Приняв участие всего в трёх матчах сезона Делор вернулся в «Аяччо». 6 августа 2010 года в матче против своего предыдущего клуба «Ним» он дебютировал за команду. 17 декабря в поединке против «Анже» Анди забил свой первый гол за «Аяччо». По итогам сезона Делор помог клубу выйти в элиту. 6 августа 2011 года в матче против «Тулузы» он дебютировал в Лиге 1. В начале 2012 года для получения игровой практики Делор на правах аренды перешёл в «Мец». 20 февраля в матче против «Нанта» он дебютировал за новую команду. 30 марта в поединке против «Булони» Анди забил свой первый гол за «Мец». Летом он вернулся в «Аяччо», где чередовал выступления за команду дублёров и основной состав. Летом 2013 года Делор перешёл в «Тур». 2 августа в матче против «Клермона» он дебютировал за новую команду. 9 августа в поединке против «Ньора» Анди забил свой первый гол за «Тур». 16 мая 2014 года в матче против «Клермона» он сделал хет-трик. По итогам сезона Делор стал лучшим бомбардиром Лиги 2. Летом 2014 года Анди перешёл в английский «Уиган Атлетик». Сумма трансфера составила 4 млн евро. 13 сентября в матче против «Блэкберн Роверс» он дебютировал в Чемпионшипе. В начале 2015 года Делор вернулся в «Тур» на правах аренды. Летом он перешёл в «Кан». 8 августа в матче против марсельского «Олимпика» Анди дебютировал за новую команду. В этом же поединке он забил свой первый гол за «Кан». Летом 2016 года Делор перешёл в мексиканский УАНЛ Тигрес, став вторым французом после Андре-Пьера Жиньяка в составе «тигров». Анди подписал контракт на четыре года. Сумма трансфера составила 8 млн евро. В матче против «Монаркас Морелия» он дебютировал в мексиканской Примере, заменив во втором тайме Исмаэля Сосу. 19 октября в поединке Лиги чемпионов КОНКАКАФ против коста-риканского «Эредиано» Делор забил свой первый гол за «тигров». В том же году Анди помог клубу выиграть чемпионат. В начале 2017 года Делор вернулся на родину, подписав контракт с «Тулузой». Сумма трансфера составила 6 млн евро. 5 февраля в матче против «Анже» он дебютировал за новую команду. В этом же поединке Анди забил свой первый гол за «Тулузу». Летом 2018 года Делор на правах аренды присоединился к «Монпелье» до конца сезона 2018/2019 с возможностью выкупа трансфера. 11 августа в матче против «Дижона» он дебютировал за новую команду. В начале лета 2019 года «Монпелье» выкупил контракт Делора у «Тулузы» за 4 млн евро. Игрок подписал контракт на 4 года.