В 2011 году Ганн стал игроком академии «Манчестер Сити». Трибунал постановил, чтобы «Сити» выплатил клубу из Нориджа 250 тысяч фунтов стерлингов за переход юного вратаря. В июне 2013 года Ганн подписал с «Манчестер Сити» трёхлетний профессиональный контракт. В сезоне 2016/17 несколько раз попадал в заявку первой команды «Сити», но на поле так и не появился. В сезоне 2017/18 отправился в аренду в «Норвич Сити». Дебютировал в основном составе «канареек» в матче Чемпионшипа против «Фулхэма». 16 августа провёл свой первый «сухой матч»: это была игра третьего тура Чемпионшипа против «Куинз Парк Рейнджерс» на «Карроу Роуд». В том сезоне сыграл во всех 46 матчах «Норвич Сити» в Чемпионшипе, а также в двух матчах Кубка Англии и трёх матчах Кубка лиги. В голосовании болельщиков на звание лучшего игрока «Норвич Сити» в сезоне занял третье место, уступив Джеймсу Мэддисону и Гранту Хэнли.