Тэтэрушану начал свою футбольную карьеру в клубе Лиги II «Ювентус» из Бухареста. Спустя некоторое время перебрался в клуб «Глория» из города Бистрица. 26 мая 2008 года подписал контракт со «Стяуа». Трансфер обошёлся в 1.5 млн евро. Молодого вратаря тут же отдали в аренду обратно в «Глорию» на сезон. В 2009 году Тэтэрушану стал первым номером «Стяуа». 16 июля 2009 года вратарь дебютировал в Лиге Европы в матче против венгерского «Уйпешта», который «Стяуа» выиграл со счетом 2:0. 2 августа 2009 года Тэтэрушану сыграл свой первый матч в чемпионате Румынии. В июне 2011 года «Наполи» предлагал 3 млн евро за игрока, но предложение было отклонено руководством «Стяуа». В июле 2014 перешел в «Фиорентину» на правах свободного агента, подписав контракт до 30 июня 2019 года. 12 сентября 2020 года игрок перешёл в итальянский «Милан». 34-летний голкипер присоединился к «россонери» на постоянной основе за 500 тысяч евро.