Шунин — воспитанник СДЮШОР «Динамо», где его первым тренером стал Владимир Владимирович Козлов. 21 апреля 2007 года Антон дебютировал в основном составе «Динамо» в матче 6-го тура чемпионата России с командой «Химки» (2:1), став основным вратарём команды до конца сезона. По итогам сезона Шунин был награждён премией «Открытие сезона» по версии РФС. На протяжении следующих двух сезонов Шунин был вторым голкипером команды, уступив место в основе Владимиру Габулову, периодически подменяя его в воротах. В переходном сезоне 2011/12 Шунин выиграл конкуренцию у Габулова (который вскоре покинул команду) и провёл почти все матчи в основном составе без замен, сыграв при этом 17 матчей «на ноль» и выдал сухую серию — «Динамо» не пропускало 461 минуту. 17 ноября 2012 года во время игры «Динамо» — «Зенит» на 37-й минуте петербургскими болельщиками на поле была брошена петарда, попавшая в Шунина. В результате взрыва голкипер был оглушён и получил химический ожог роговицы, век и слизистых оболочек обоих глаз, а также посттравматический отит правого уха со снижением слуха. Матч был остановлен, «Зениту» позже было присуждено техническое поражение 0:3. Восстановление Шунина заняло 10 дней. По ходу сезона 2013/2014 Шунин потерял место в стартовом составе клуба, которое вновь занял вернувшийся в «Динамо» Габулов. По итогам сезона 2015/16 «Динамо» впервые в истории вылетело в ФНЛ. Шунин принял решение остаться в клубе, несмотря на предложения от других команд премьер-лиги. После этого Антон стал капитаном команды и одним из её лидеров, вернув себе статус основного вратаря. По итогам первенства ФНЛ «Динамо» вернулось в премьер-лигу, обеспечив себе первое место за 7 туров до конца чемпионата. За сезон Шунин провёл 35 матчей, 17 из которых — «на ноль». 24 июля 2021 года Шунин стал рекордсменом «Динамо» по количеству матчей в высшем дивизионе чемпионата России — он сыграл 240 матчей (и обошёл Александра Точилина, у которого на счету 239 матчей). Всего на тот момент Антон Шунин провёл 295 официальных встреч в составе бело-голубых и занимал по этому показателю 11-е место в истории клуба. 16 ноября 2021 года голкипер продлил контракт с «Динамо» до конца сезона 2023/24.