Майер — воспитанник берлинской «Герты». 13 мая 2017 года в матче против «Дармштадт 98» он дебютировал в Бундеслиге в составе последнего, заменив Саломона Калу во втором тайме. Летом 2020 года Майер был арендован «Арминией». 19 сентября в матче против «Вердера» он дебютировал за новую команду. По окончании аренды Арне вернулся в «Герту». Летом 2021 года Майер был арендован клубом Аугсбург. 14 августа в матче против «Хоффенхайма» он дебютировал в Бундеслиге.