Барт является воспитанником академии «Утрехта», в которую он попал в 14 лет и окончил её в 2015 году. 1 марта 2015 года дебютировал в «Утрехте» поединком против «Фейеноорда», выйдя на замену на 87-ой минуте вместо Марка Димерса. Особенно впечатляющей стала вторая игра, спустя больше месяца, 19 апреля против «Твенте», где Рамселар появился в основном составе. Всего в дебютном сезоне провёл пять встреч, забил один мяч, 17 мая 2015 года в ворота «Витесса». Сезон 2015/2016 игрок начал в стартовым составе, был основным игроком. Провёл 37 игр, в 35 из них выходил в стартовом составе, забил пять мячей. В сентябре 2015 года подписал контракт до конца сезона 2019 года. Также совместно с командой выступал в Кубке Нидерландов, дойдя до финала, где «Утрехт» уступил «Фейеноорду». Рамселар был ключевым игроком и принял участие во всех матчах. Наиболее успешным следует считать его дубль в ворота ПСВ в поединке четвертьфинала. В середине августа 2016 года футболист уже перешёл в ПСВ. Сумма трансфера составила 4,3 млн, также контрактом предусмотрены различные бонусные выплаты евро. 28 августа Рамселар дебютировал за свой новый клуб в поединке против «Гронингена», выйдя на замену на 84-ой минуте вместо Сантьяго Ариаса. 10 сентября забил свой первый мяч за ПСВ в ворота НЕКа. 13 сентября Барт дебютировал в Лиге Чемпионов поединком против мадридского «Атлетико», выйдя на замену на 67-ой минуте вместо Йоррита Хендрикса. В августе 2019 года вернулся в «Утрехт».