Ван Хинтюм — воспитанник клубов «Схадевейк», ПСВ и «ТОП Осс». В 2005 году он дебютировал в Эрстедивизи в составе последнего. Летом 2010 года ван Хинтюм перешёл в «Дордрехт». 13 августа 2010 года в матче против «Камбюра» он дебютировал за новый клуб. 19 сентября в поединке против «Ден Босх» Барт забил свой первый гол за «Дордрехт». Летом 2011 года ван Хинтюм перешёл в ПЕК Зволле. В матче против АГОВВ он дебютировал за новый клуб. 28 октября в поединке против «МВВ Маастрихт» Барт забил свой первый гол за «Зволле». По итогам сезона он выиграл первенство помог клубу выйти в элиту. 11 августа 2012 года в матче против «Рода» он дебютировал в Эредивизи. В 2014 году Барт помог команде завоевать Кубок Нидерландов Летом 2017 года ван Хинтюм присоединился к «Хераклесу». 12 августа в матче против столичного «Аякса» он дебютировал за новый клуб. 18 августа 2018 года в поединке против АДО Ден Хааг Барт заби свой первый гол за «Хераклес». Летом 2019 года ван Хинтюм перешёл в «Гронинген». 18 августа в матче против АЗ он дебютировал за новую команду.