Родившийся в Познани Бартош Берешиньский начинал играть в футбол в различных местных детско-юношеских командах, среди которых были и команды клубов «Варта» и «Лех». В 2009 году он стал игроком познанского «Леха» и дебютировал в Экстракласе 21 марта 2010 года, выйдя на замену на 87-й минуте домашнего победного (2:0) матча против «Ягеллонии». Через неделю в поединке с «Одрой» он вновь появился на поле лишь в самой концовке игры. Это были единственные случаи появления Берешиньского в официальных матчах того сезона и последующего за ним. В сезоне 2011/12 Берешиньский был отдан в аренду «Варте», выступавшей в Первой лиге. За «Варту» он провёл в лиге 27 матчей и забил 1 мяч, ставший победным (1:0) в домашней встрече с «Рухом» из Радзёнкува. В сезоне 2012/13 Берешиньский вернулся в «Лех», где вскоре стал регулярно появляться в стартовом составе команды. Дебютировал он тогда же и в еврокубках, выходя в концовках 3-х матчей «Леха» в рамках квалификационных раундов Лиги Европы 2012/13. В зимнее трансферное окно 2013 года Берешиньский перешёл в варшавскую «Легию», В настоящее время (сезон 2022-2023) выступает за клуб Серии А «Наполи» на позиции защитника.