Годфри начал карьеру в академии клуба своего родного города, «Йорк Сити». В 2011 году был капитаном команды Йорка и окрестностей до 13 лет, обыгравшей в финале трофея школьных команд Англии команду «Саутгемптона». Летом 2011 года Годфри стал игроком молодёжной команды клуба «Мидлсбро». Впоследствии проходил просмотр в «Лидс Юнайтед» и «Шеффилд Уэнсдей», но в итоге вернулся в «Йорк Сити». 18 августа 2015 года дебютировал в основном составе «Йорк Сити» в матче Лиги 2 против «Йовил Таун». 14 ноября 2015 года забил свой первый гол за клуб в матче против «Плимут Аргайл». 15 января 2016 года Годфри перешёл в клуб Премьер-лиги «Норвич Сити», подписав с «канарейками» контракт сроком на три с половиной года. 23 августа 2016 года Бен дебютировал за «Норвич Сити», выйдя на замену в матче Кубка Английской футбольной лиги против «Ковентри Сити», забив свой первый гол за клуб ударом из-за пределов штрафной площади. 28 января 2017 года дебютировал в Чемпионшипе, выйдя на замену в игре против «Бирмингем Сити». В августе 2017 года подписал новый четырёхлетний контракт с «Норвич Сити».