Траоре начал юношескую карьеру футболиста в местном футбольном клубе «Бобо». С 2009 году он перешёл в академию французского «Осера». В августе 2010 года сообщалось, что Траоре присоединится к футбольной Академии «Челси», при этом отвергнув предложение «Манчестер Юнайтед». Тем не менее, в январе 2011 года Траоре ещё не был подписан клубом, а в январе 2012 года в клубе подтвердили, что Траоре не был никогда игроком «Челси», хотя появился один раз в составе молодёжной команды в товарищеском матче в рамках шестинедельных предсезонных каникул. 17 июля 2013 года Траоре дебютировал как «гость» в составе «Челси» в предсезонном товарищеском матче против «Всех звёзд Сингха» в рамках предсезонного азиатского турне. Четыре дня спустя он забил свой первый гол за «Челси» против «Всех звёзд Малайзии». В том же матче он отдал голевой пас Ромелу Лукаку, забившему третий гол в матче. По словам главного тренера Жозе Моуринью, Траоре будет подписан официально в сентябре на его 18-летие. 25 июля 2013 года Бертран забил гол в ворота «Всех звёзд Индонезии» ударом с левой ноги в верхний угол ворот. 31 октября 2013 года Траоре заключил контракт с клубом на четыре с половиной года, трансфер официально состоялся 1 января 2014 года. Во время зимнего трансферного окна 2 января Бертран был отправлен в аренду в «Витесс» до конца сезона. 16 сентября 2015 года дебютировал за «Челси», выйдя на замену в первом матче группового раунда Лиги чемпионов УЕФА против «Маккаби Тель-Авив» (4:0). 5 декабря дебютировал в Премьер-лиге, выйдя на замену в матче 15-го тура против «Борнмута» (0:1), провёл на поле 7 минут. 31 января 2016 года забил первый гол за «Челси», на 62-й минуте матча 4-го раунда Кубка Англии поразив ворота «Милтон Кинс Донс» (5:1). 13 февраля 2016 года отметился первым голом в Премьер-лиге в матче 26-го тура против «Ньюкасл Юнайтед» (5:1), став первым буркинийцем, забившим гол в Премьер-лиге.