Мелинг — воспитанник клуба «Викинг». В 2013 году его заметили скауты английского «Мидлсбро» и пригласили в команду. Летом 2014 года Биргер вернулся в «Стабек», подписав первый профессиональный контракт. 21 сентября в матче против «Олесунна» он дебютировал в Типпелиге. 27 июня 2015 года в поединке против «Стрёмсгодсета» Мелинг забил свой первый гол за «Стабек». В начале 2017 года Биргер перешёл в «Русенборг», подписав контракт на 4 года. 23 апреля в матче против «Олесунна» он дебютировал за новую команду. 26 августа 2018 года в поединке против «Стрёмгодсета» Мелинг забил свой первый гол за «Русенборг».