Иглесиас начинал заниматься футболом в клубе «Валенсия». Затем он тренировался в командах «Ла-Рода» и «Вильярреал». За третью команду последнего Иглесиас выступал в сезоне 2012/13.

Летом 2013 года он подписал контракт с «Сельтой». Следующие четыре года Иглесиас отыграл за её резервную команду в Сегунде B, где регулярно забивал. В сезоне 2016/17 он забил 34 гола в 39 матчах лиги.

3 января 2015 года Борха Иглесиас дебютировал в Примере, выйдя на замену в гостевом поединке против «Севильи».

В июле 2017 года Борха Иглесиас на правах аренды перешёл в клуб Сегунды «Реал Сарагоса», за которую он также стал регулярно забивать. 9 июля 2018 года перешёл в «Эспаньол». Свой первый гол забил 26 августа в матче против «Валенсии».