Бремер — воспитанник клубов «Деспортиво Бразил» и «Атлетико Минейро». 26 июня 2017 года в матче против «Шапекоэнсе» он дебютировал в бразильской Серии А, в составе последнего. 13 мая 2018 года в поединке против «Атлетико Паранаэнсе» Глейсон забил свой первый гол за «Атлетико Минейро». Летом того же года Бремер перешёл в итальянский «Торино», подписав контракт на пять лет. В июле 2022 года перешёл в «Ювентус», подписав с клубом контракт до 2027 года. Дебютировал за клуб 15 августа 2022 года в матче против «Сассуоло». Дебютный гол за клуб забил 11 сентября 2022 года в матче против «Салернитаны».