Присоединился к академии «Ливерпуля» в 2015 году, выступал за команды различных возрастов. Летом 2018 года участвовал в матчах предсезонного турне клуба в США. Впервые попал в заявку основной команды 7 января 2019 года на матч третьего раунда Кубка Англии против «Вулверхэмптон Уондерерс». Был запасным вратарём в победном для его команды финальном матче Лиги чемпионов 2018/2019 против «Тоттенхэма» (2:0) и в игре за Суперкубок УЕФА 2019 против «Челси», который «Ливерпуль» также выиграл. В сезоне 2019/2020 стал регулярно попадать в заявку на матчи Английской Премьер-лиги. Дебютировал за основную команду «Ливерпуля» 25 сентября 2019 года в выездном матче третьего раунда Кубка Английской футбольной лиги против «Милтон Кинс Донс». В той игре Келлехер совершил несколько впечатляющих сейвов и сохранил свои ворота в неприкосновенности, а «Ливерпуль» победил со счётом 2:0.