Дженгиз Ундер начинал карьеру футболиста в измирском клубе «Алтынорду». 28 декабря 2014 года он дебютировал в турецкой Первой лиге, выйдя в основном составе в домашнем поединке против «Манисаспора». 15 февраля 2015 года Дженгиз Ундер забил свой первый гол, открыв счёт в гостевой игре с «Денизлиспором». В начале июля 2016 года Дженгиз Ундер перешёл в клуб турецкой Суперлиги «Истанбул Башакшехир». 28 июля того же года он дебютировал за команду, выйдя на замену в квалификации Лиги Европы, в домашнем матче против хорватской «Риеки». 16 июля 2017 года подписал контракт с итальянским клубом «Рома» сроком до 30 июня 2022 года, сумма трансфера составила 13,4 млн евро + 1,5 млн в виде бонусов.