Аспиликуэта — воспитанник «Осасуны». 8 апреля 2007 года дебютировал в Примере в матче с «Реал Мадридом» (0:2), параллельно оставаясь в составе второй команды. Первоначально играл на позиции полузащитника. В сезоне 2007/08 Сесар успешно заменял травмированных одноклубников, к концу чемпионата занял место в основе команды (29 матчей в Примере) и переквалифицировался в латераля. В сезоне 2008/09 Аспиликуэта стабильно выходил на поле в стартовом составе, а в сезоне 2009/10 стал одним из ведущих игроков «Осасуны», сыграв во всех 38 матчах Примеры без замен. Игра молодого защитника привлекла внимание Висенте дель Боске, который включил его в расширенную заявку сборной Испании на чемпионат мира 2010 года. По появившимся в июне 2010 года слухам игрок вошёл в сферу интересов французского «Марселя», а «Осасуна», ввиду плохого финансового состояния клуба, тоже была заинтересована в трансфере. 21 июня официальный сайт «Марселя» объявил о переходе игрока. Сумма сделки составила 7 млн евро, которая могла быть увеличена до 9,5 млн с учётом бонусов. 24 августа 2012 года 22-летний игрок сборной Испании согласовал условия личного контракта с «Челси» и прошёл медицинское обследование. По некоторым данным, сумма сделки составила от 7 до 9 млн фунтов. Дебютировал 25 сентября в матче Кубка Лиги с «Вулверхэмптон Уондерерс». 13 декабря 2016 года Сесар продлил контракт с клубом до 2020 года. В конце июля 2017 года, после ухода из «Челси» Джона Терри, Аспиликуэта был назначен вице-капитаном команды. 12 сентября 2017 года он забил свой первый гол в Лиге чемпионов, в матче группового этапа с «Карабахом», который был обыгран со счётом 6:0.