Эджуке начал профессиональную карьеру в клубе «Гомбе Юнайтед». В начале 2017 года Чидера подписал соглашение на 3 года с норвежской «Волеренгой». 30 апреля в матче против «Одда» он дебютировал в Типпелиге. 24 сентября в поединке против «Бранна» Эджуке забил свой первый гол за «Волеренгу». Летом 2019 года Чидера перешёл в нидерландский «Херенвен». 4 августа в матче против «Хераклеса» он дебютировал в Эредивизи. В этом же поединке Эджуке забил свой первый гол за «Херенвен». 28 августа 2020 года Чидера перешёл в московский ЦСКА, подписав контракт на 4 года. Сумма трансфера составила 12 млн евро. Нигериец вошёл в тройку самых дорогих продаж в истории голландского клуба. 13 сентября 2020 года забил свой первый гол в дебютном матче в составе ЦСКА в ворота московского «Спартака» (3:1).