Клаудио был довольно успешен на молодёжном уровне. В 1999 году он считался основным голкипером резервистов «Коло-Коло», ставших обладателями Молодёжного кубка Чили. Накануне сезона 2001/02 Клаудио был переведен в первую команду «вождей». После травмы основного голкипера Эдуардо Лобоса получил возможность дебютировать на высшем уровне. С середины 2003 года стал основным голкипером чилийской команды, выиграв в её составе Кубок Апертуры 2006 года. За четыре неполных сезона, омраченных несколькими травмами, Браво провел за «Коло-Коло» чуть более 150 матчей. В сезоне 2006/07 Браво подписал пятилетний контракт с испанским «Реал Сосьедадом». Он стал самым молодым вратарем Примеры. С каждым сезоном в Сан-Себастьяне чилийский голкипер всё больше и больше прогрессировал. В 2010 году во многом благодаря его великолепной игре «Реал» сумел вернуться в элитный дивизион, откуда вылетел сезоном ранее. 14 февраля 2010 года Браво забил первый гол в своей карьере, со штрафного удара, в игре против «Химнастика». Однако вскоре после этого чилиец получил новую травму колена, из-за которой пропустил оставшуюся часть сезона. По его итогам «Реал Сосьедад» сумел занять первое место в Сегунде и вернуться в элиту испанского футбола.