Уроженец Манчестера (район Уитеншо), Коул тренировался в футбольной академии «Манчестер Сити» с восьмилетнего возраста. В основном составе «Сити» дебютировал 30 сентября 2020 года в матче Кубка Английской футбольной лиги против «Бернли». 27 октября 2020 года Палмер дебютировал в Лиге чемпионов, выйдя на замену Кевину де Брёйне в матче группового этапа против «Марселя». 21 августа 2021 года дебютировал в Премьер-лиге в матче против «Норвич Сити».