Дарио родился в Сараево, но спасаясь от войны, его семья вскоре после его рождения переехала в Данию. Он начал свою карьеру, занимаясь в футболом в юношеских командах «Химмелев-Видделев» и «Видовре». В 2008 году Думич подписал первый профессиональный контракт с английским «Норвич Сити», но так и не дебютировал за основной состав. В начале 2010 года Дарио вернулся в Данию, став игроком «Брондбю». 23 июля 2011 года в матче против «Силькеборга» он дебютировал в датской Суперлиге. 4 декабря в поединке против «ХБ Кёге» Думич забил свой первый гол за «Брондбю». В начале 2016 года Дарио перешёл в нидерландский НЕК. 22 января в матче против «Гронингена» он дебютировал в Эредивизи. 3 апреля в поединке против «Витесса» Думич забил свой первый гол за НЕК.