Нуньес — воспитанник клуба «Пеньяроль». 22 ноября 2017 года в матче против «Ривер Плейта» он дебютировал в уругвайской Примере. В своём дебютном сезоне Нуньес стал чемпионом Уругвая. 13 октября 2018 года в поединке против столичного «Феникса» Дарвин забил свой первый гол за «Пеньяроль». В том же году он завоевал Суперкубок Уругвая. Летом 2019 года Нуньес перешёл в испанскую «Альмерию», подписав контракт на 5 лет. 3 октября в матче против хихонского «Спортинга» он дебютировал в Сегунде. 27 октября в поединке против «Эстремадуры» Дарвин забил свой первый гол за «Альмерию». Летом 2020 года Нуньес перешёл в лиссабонскую «Бенфику», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 24 млн евро. 15 сентября в отборочном поединке Лиги чемпионов против греческого ПАОКа Дарвин дебютировал за новую команду. 18 сентября в матче против «Фамаликана» он дебютировал в Сангриш лиге. 22 октября в поединке Лиги Европы против польского «Леха» Дарвин сделал хет-трик, забив свои первые голы за «Бенфику». В том розыгрыше он отличился еще дважды в матчах против того же «Леха» и шотландского «Рейнджерс». 29 сентября 2021 года в поединке Лиги чемпионов против «Барселоны» он сделал «дубль». 13 июня 2022 года «Бенфика» объявила о продаже уругвайского нападающего в английский «Ливерпуль» за 75 млн евро.