Родился в Соре, Лацио. В шесть лет присоединился к молодёжной команде местного клуба. В 2008 году перешёл в соседний «Исола Лири», появляясь в нескольких молодёжных чемпионатах. В январе 2011 Дзаппакоста присоединился к «Аталанте» и провёл там шесть месяцев. Летом в совместном владении перешёл в «Авеллино», где два года играл в Высшем дивизионе Профессиональной лиги, после чего «Авеллино» прошёл в Серию B. Свой первый гол в Серии В забил в матче против «Новары». 4 июля 2014 года Давиде вернулся в «Аталанту», которая пробилась в Серию А после четырёхлетнего перерыва. Дебютировал в Серии А 31 августа, в игре с «Вероной» (0-0). 6 января 2015 года он забил свой первый гол в Серии А, во время игры с «Дженоа» (2-2), а через неделю — ещё один, с «Кьево». 10 июля 2015 года он был продан «Торино» вместе с Даниеле Базелли. Сумма трансфера составила 10 миллионов евро. 31 августа 2017 года Дзаппакоста перешёл в «Челси», подписав контракт до лета 2021 года. Сумма трансфера составила 28 миллионов евро. В команде он выбрал себе № 21. 12 сентября 2017 года забил первый гол за новую команду в своём дебютном матче в Лиге чемпионов против азербайджанского «Карабаха» в рамках группового этапа. Тем самым он стал 100-м итальянцем, отличившимся в главном еврокубковом турнире. 29 мая 2019 года в финале Лиги Европы УЕФА против лондонского «Арсенала» (4:1) вышел на замену на 89-й минуте.