В детско-юношеской футбольной лиге Украины выступал за УФК (Харьков). Первый тренер — В. В. Недавний. Позже перешёл в донецкий «Шахтёр». В 2003 году был переведён в «Шахтёр-2», в Первой лиге дебютировал 18 июля 2003 года в матче против «Закарпатья» (2:1). 19 июня 2004 года дебютировал в Высшей лиге в матче против запорожского «Металлурга» (5:0), в том матче Кулаков забил гол. С 2006 года по 2007 год выступал в мариупольском «Ильичёвце». В июне 2008 года был куплен полтавской «Ворсклой». За «ворсклян» дебютировал 14 июля 2007 года в матче против луганской «Зари» (1:1). 31 мая 2009 года вместе с командой выиграл Кубок Украины, в финале «Ворскла» обыграла донецкий «Шахтёр» (1:0). 11 июля 2009 года принял участия в матче за Суперкубок Украины, где полтавчане проиграли киевскому «Динамо», по пенальти (4:2, основное время 0:0). В июне 2009 года был номинирован на Золотой мяч Украины 2009, в итоге занял 23 место. С 2011 года по 2014 года являлся игроком днепропетровского «Днепра». В июне 2014 года подписал трёхлетний контракт с харьковским «Металлистом». В сезоне 2013/14 провёл за «Днепр» 10 игр и стал вместе с командой серебряным призёром чемпионата Украины. В июле 2015 года будучи клиентом агента Вадима Шаблия перешёл в екатеринбургский «Урал», подписав контракт на два года. В «Урале» Денис взял 15 номер. В составе новой команды дебютировал 20 июля 2015 года в матче против краснодарской «Кубани», Кулаков отыграл весь поединок, а «Урал» победил (2:0). Лучший игрок Сезона 2016/17 в составе «Урала» по версии болельщиков. Свой первый гол за «Урал» Кулаков забил 24 ноября 2018 года в матче с московским «Локомотивом», который в итоге оказался победным для уральцев (1:2).