Ван де Бек — воспитанник футбольной академии клуба «Венсе Бойс», в котором когда-то играл его отец, Андре. В 2008 году Донни перебрался в академию «Аякса». В январе 2015 года впервые дебютировал в составе «Йонг Аякс» (резервная команда «Аякса») в первом дивизионе Нидерландов против «Спарты». Два месяца спустя главный тренер первой команды Франк де Бур включил Донни в состав на матч против «АДО Ден Хааг», однако в этом матче он так и не вышел на поле. В конце сезона 2014/15 ван де Бек был признан «талантом года» в «Аяксе». В ноябре 2015 года Ван де Бек был включён в состав первой команды на матч Лиги Европы против шотландского клуба «Селтик». В этом матче нидерландец вышел на поле во втором тайме, заменив во втором тайме Лассе Шёне и тем самым произведя свой дебют, а «Аякс» одержал победу со счётом 2:1. Впоследствии сам игрок назвал свой дебют «прекрасным». Три дня спустя Донни впервые вышел в матче чемпионата Нидерландов, игра против «ПЕК Зволле» окончилась с победным счётом 2:0. В следующем месяце он забил свой первый гол за «Аякс», это произошло в матче против норвежского клуба «Молде» (1:1). Гол, забитый в этом матче, был признан лучшим голом месяца в клубе. Нидерландское издание Voetbal International в январе 2016 года сообщило, что тренер команды де Бур был впечатлён выступлениями ван де Бека. 16 февраля Донни был официально переведён в первую команду. Однако в сезоне 2015/16 полузащитник продолжал регулярно выступать в составе «Аякса» до 19 лет.