Тадич родился и вырос в городе Бачка Топола в Воеводине. Первым клубом Душана стала местная футбольная команда АИК, в которой он начал играть в возрасте семи лет. В 14 лет Тадич переехал в Нови-Сад и стал игроком «Воеводины». В 2006 году Тадич подписал с клубом свой первый профессиональный контракт. В возрасте 18 лет он дебютировал в Суперлиге Сербии и в сезоне 2006/07 закрепился в основном составе «Воеводины». В общей сложности в дебютном сезоне Тадич сыграл 28 матчей, в которых забил четыре гола. В составе «Воеводины» Тадич на протяжении трёх сезонов играл в еврокубках, принимал участие в обоих матчах квалификации Кубка УЕФА против «Атлетико Мадрид» в 2007 году. В квалификации Лиги Европы 2009/10 20-летний Душан отметился голом в ворота венской «Аустрии». В домашнем чемпионате за четыре сезона Тадич сыграл за «Воеводину» 107 матчей, в которых забил 29 голов. Летом 2010 года Тадич перешёл из «Воеводины» в нидерландский «Гронинген», заплативший за него 1,1 млн евро. По словам игрока, у него были также предложения из Германии, Испании, России и Италии, но он предпочёл менее выгодный с финансовой точки зрения переход в «Гронинген» ради возможности регулярно играть в основном составе. Уже в первом сезоне в новом клубе Тадич проявил себя как умелый плеймейкер, снабжающий партнёров голевыми передачами. В 41 матче он отдал 21 голевую передачу, во всей Европе в сезоне 2010/11 лучшие показатели имели лишь Лионель Месси и Месут Озил. В апреле 2012 года Тадич стал игроком «Твенте», подписав с клубом трёхлетний контракт. Сумма сделки между клубами составила более 7 млн евро. В июле 2014 года перешёл в английский «Саутгемптон». 27 июня 2018 года амстердамский «Аякс» объявил о подписании с Тадичем четырёхлетнего контракта.