Альварес — воспитанник столичной «Америки». 25 августа 2016 года в поединке Кубка Мексики против «Минерос де Сакатекас» Эдсон дебютировал за основной состав. 30 октября в матче против «Сантос Лагуна» он дебютировал в мексиканской Примере. 26 декабря в поединке против УАНЛ Тигрес Альварес забил свой первый гол за «Америку». В 2019 году Эдсон помог команде выиграть чемпионат ии завоевать Кубок Мексики. 22 июля 2019 года Альварес перешёл в амстердамский «Аякс», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 15 млн. евро.