Эльбасан Рашани родился в албанское семье, выходцев из Косова, в шведском городке Хиллерсторп. Рос же он в норвежских Крагерё и Бё. В 2010 году он стал игроком норвежского клуба «Одд». 10 апреля 2011 года Рашани дебютировал в норвежской Типпелиге, выйдя на замену на 87-й минуте гостевого поединка против «Стрёмсгодсета». 10 августа 2012 года он забил свой первый мяч на высшем уровня, отметившись голом престижа на 81-й минуте гостевой встречи против «Волеренги». 24 июля 2014 года Рашани подписал 4-летний контракт с датским клубом «Брондбю». В начале 2016 года он на правах аренды перешёл в норвежский «Русенборг». Своей игрой он смог заинтересовать руководство трондхеймцев и в конце 2016 года с ним подписали полноценный контракт.