Мартинес был куплен «Арсеналом» у «Индепендьенте» в 2010 году. Он выступал за юношескую и молодёжную команды клуба. В 2012 году он был арендован клубом «Оксфорд Юнайтед», но провёл лишь один матч. Следующая аренда последовала в сезоне 2013/14, в «Шеффилд Уэнсдей». Там Дамиан получил больше игровой практики, сыграв в одиннадцати встречах. Вернувшись в «Арсенал», он регулярно начал попадать в заявки команды на матчи. Дебют Дамиана состоялся 22 октября 2014 года в матче Лиги чемпионов с «Андерлехтом».