Гутьеррес — воспитанник клуба «Пачука». 27 октября 2013 года в матче против «Крус Асуль» он дебютировал в мексиканской Примере. 8 февраля 2015 года в поединке против «Толуки» Эрик забил свой первый гол за «Пачуку». В 2016 году он помог клубу выиграть чемпионат, через год одержать победу Лиге чемпионов КОНКАКАФ. Летом 2018 года Гутьеррес перешёл в нидерландский ПСВ. Сумма трансфера составила 8 млн. евро. 15 сентября в матче против «АДО Ден Хааг» он дебютировал в Эредивизи. В этом же поединке Эрик забил свой первый гол за ПСВ.