Пульгар — воспитанник клуба «Депортес Антофагаста». 20 ноября 2011 года в матче против «Депортес Наваль» он дебютировал в чилийской Примере. 11 мая 2013 года в поединке против «Унион Эспаньола» Эрик забил свой первый гол за «Депортес Антофагаста». Летом 2014 года Пульгар перешёл в «Универсидад Католика». Сумма трансфера составила 400 тыс. евро. 27 июля в матче против «Унион Эспаньола» он дебютировал за новую команду. 25 августа в поединке против «Палестино» Эрик забил свой первый гол за «Универсидад Католика». Летом 2015 года Эрик перешёл в итальянскую «Болонью», подписав контракт на четыре года. 22 августа в матче против «Лацио» он дебютировал в итальянской Серии A, заменив во втором тайме Макро Крими. 26 октября 2016 года в поединке против «Кьево» Пульгар забил свой первый гол за «Болонью».