Палмер-Браун — воспитанник клуба «Спортинг Канзас-Сити». 2 августа 2013 года он подписал свой первый профессиональный контракт, став одним из самых молодых воспитанников команды заключивших соглашение. Спустя год итальянский «Ювентус» предложил за Эрика один миллион евро, но «Спортинг» ответил отказом. 18 мая того же года в матче против «Чикаго Файр» Палмер-Браун дебютировал в MLS. В 2015 году он помог клуб выиграть Кубок Ламара Ханта. В начале 2016 года Эрик на правах аренды перешёл в португальский «Порту». Из-за высокой конкуренции он выступал только за дублёров. По итогам сезона Палмер-Браун помог команде выиграть Сегунда-лигу. В начале 2017 года он вернулся в «Спортинг» и выступал за фарм-клуб «Своуп Парк Рейнджерс» в USL. В начале 2018 года Палмер-Браун перешёл в английский «Манчестер Сити», но для получения игровой практики сразу же был отдан в аренду в бельгийский «Кортрейк». 3 марта в матче против «Брюгге» он дебютировал в Жюпилер-лиге. Проведя вторую половину сезона 2017/18 в составе «Кортрейка», Палмер-Браун на правах аренды перешёл в клуб НАК Бреда, который на тот момент вышел в Высший дивизион Нидерландов по футболу. В сезоне 2019/20 на правах аренды Палмер-Браун стал игроком «Аустрии». 31 августа 2021 года перешёл на правах аренды во французский клуб Лиги 1 «Труа» до июня 2022 года.