Паласиос — воспитанник футбольной академии «Ривер Плейт». В 2015 году он был включён в заявку основной команды. 8 ноября в матче против «Ньюэллс Олд Бойз» Эсекиэль дебютировал в аргентинской Примере, заменив во втором тайме Лаутаро Арельяно. 9 апреля 2018 года в поединке против «Расинга» из Авельянеды Эсекиэль забил свой первый гол за «Ривер Плейт». 16 декабря 2019 года немецкий «Байер 04» объявил о переходе Паласиоса с 1 января 2020 года.